первообразная. Интеграл.

Первообразная функция  данной функции f(x) – такая функция F(x), производная которой на данном промежутке равна f(x). 
Отыскание первообразной функции – операция, обратная дифференцированию, ее называют также интегрированием. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функции f(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу. 

Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от f(x).

Таблица первообразных:

Определение. Разность F (b)– F (a) называется интегралом от функции f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так: = F (b)– F (a) – формула Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

.

Вычисление площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке

 [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x),  и прямыми

 х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x),  и осью Ох:

Примеры.

1. Вычислить интеграл 

Решение:

Ответ: 0.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

a) f( x ) = 2 х – х 2 и осью абсцисс

Решение: График функции  f(x) = 2x - х2 парабола. Вершина: (1; 1).

Ответ:

б) 

Решение: График функции  – прямая.

x	0	4
y	0	2

Функция  является обратной функции y = х 2 на промежутке [0; +∞).

x	0	1	4
y	0	1	2

Ответ:( кв . ед .).